3.2 集合族上の演算

集合族 $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$に対し， $A_{\lambda}\strut$のすべてに共通な元の全体， すなわち $\forall \lambda \in \Lambda [a \in A_{\lambda}]\strut$をみたす$a$の全体を $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$ の共通部分とよび， $\bigcap \{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$あるいは $$\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\strut$$で表す．

$$a\in \bigcap \{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda [a \in A_{\lambda}]\strut$$

である． $\Lambda=\{0,1\}\strut$のとき， $\bigcap \{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut=A_0\cap A_1\strut$である．

また，集合族 $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$に対し， $A_{\lambda}\strut$のいずれかの元となるようなものの全体， すなわち $\exists \lambda \in \Lambda [a \in A_{\lambda}]\strut$をみたす$a$の全体を $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$の和集合とよび， $\bigcup \{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$あるいは $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\strut$$で表す．

$$a\in \bigcup \{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut \Leftrightarrow \exists \lambda \in \Lambda [a \in A_{\lambda}]\strut$$

である． $\Lambda=\{0,1\}\strut$のとき， $\bigcup \{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut=A_0\cup A_1\strut$である．

$\mathbb{N}$ を添字の集合とする集合族 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}\strut$の場合は， $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n , \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$と表すこともある．

命題 3.4   集合族 $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$と集合族の構成元 $A_{\lambda_0}\strut$に対し，次が成立する．

1. $A_{\lambda_0} \subseteq \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$     $(\lambda_0 \in \Lambda )\strut$
2. $$\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \subseteq A_{\lambda_0}$$      $(\lambda_0 \in \Lambda )\strut$

証明： 定義より明らか． $\Box$

定理 3.5   集合族 $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$と集合$B$に対し，次が成立する．

1. $B \subseteq \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda [B \subseteq A_{\lambda}]\strut$
2. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \subseteq B \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda [A_{\lambda}\subseteq B]\strut$$

証明： 1: $\forall \lambda \in \Lambda [B \subseteq A_{\lambda}]\strut$ $\iff \forall \lambda \in \Lambda \forall b\in B[b\in A_{\lambda}]\strut$

$\iff \forall b\in B \forall \lambda \in \Lambda [b\in A_{\lambda}]\strut$

$\iff \forall b\in B [b\in \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} ]\strut$

$\iff B \subseteq \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \strut$

2: $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \subseteq B \strut$$ $\iff \forall b [ b\in \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \rightarrow b \in B]\strut$

$\iff \forall b [\exists \lambda \in \Lambda [b \in A_{\lambda}] \rightarrow b \in B]\strut$

$\iff \forall b \forall \lambda \in \Lambda [ b \in A_{\lambda} \rightarrow b \in B]\strut$

$\iff \forall \lambda \in \Lambda \forall b [ b \in A_{\lambda} \rightarrow b \in B]\strut$

$\iff \forall \lambda \in \Lambda [A_{\lambda}\subseteq B]\strut$ $\Box$

問題 3.6   $n\in \mathbb{N}\strut$に対し， $A_n:=\{1,2,\cdots ,n\}\strut$とおく． $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n =\mathbb{N}\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$を示せ．

問題 3.7   $n\in \mathbb{N}\strut$に対し， $A_n:=\{x\in\mathbb{R}\bigm \vert x\leqq n\}\strut$とおく． $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n =\mathbb{R}\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$を示せ．

例題 3.8   $f:A\longrightarrow B\strut$とする．各 $y\in B\strut$に対して $A_y:=f^{-1}(\{y\})\strut$とおく． このとき $A=\bigcup \{A_y\bigm \vert y\in B\}\strut$であることを示せ．

解： $a\in A,b=f(a)\in B\strut$とする．このとき， $f^{-1}(\{b\}\strut)=\{x\in A \bigm \vert f(x)\in \{b\}\strut\}\strut=\{x\in A \bigm \vert f(x)=b\}\strut$であるから， $a\in f^{-1}(\{b\}\strut)=A_b\subseteq \bigcup\{A_y\bigm \vert y\in B\}\strut$である． 従って， $A\subseteq\bigcup \{A_y\bigm \vert y\in B\}\strut$である．一方， $b\in B\strut$に対し， $A_b\subseteq A\strut$であるから， 定理3.5より $\bigcup \{A_y\bigm \vert y\in B\}\strut\subseteq A\strut$となる． $\Box$

問題 3.9   $n\in \mathbb{N}\strut$に対し， $A_n:=[0,\displaystyle\frac{1}{n}] , B_n:=(0,1+\displaystyle\frac{1}{n}), C_n:=(-\displaystyle\frac{1}{n},n)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$とする．このとき， $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n , \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\inft... ...}^{\infty}C_n , \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}C_n\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$はどのような集合（区間）になるか調べよ．

問題 3.10   $n\in \mathbb{N}\strut$に対し， $A_n:=\{r\in \mathbb{R}\bigm \vert \vert r\vert\leqq \displaystyle\frac{1}{n}\}\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$ とおく．このとき， $$\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n =\{0\}\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$を示せ．

問題 3.11   $\mathbb{N}$ を添字の集合とする集合族 $(A_n)_{n\in N}\strut$と $(B_n)_{n\in N}\strut$が，任意の$n$に対して

$$A_n\subseteq B_n \subseteq A_{n+1}\strut$$

をみたすならば， $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$であることを 示せ．

問題 3.12   $n\in \mathbb{N}\strut$に対し， $A_n:=\left\{ \left( \!\!\begin{array}{c} x y \end{array} \!\!\right)\rule[-... ...t} \rule[-16pt]{0.5pt}{39pt} x,y\in\mathbb{R},x^2+y^2\leqq n^2 \right\}\strut$ とおく．このとき， $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n =\mathbb{R}^2\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$$を示せ．

定理 3.13   集合族 $\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$と集合$B$に対し，次が成立する．

1. $(\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})\cup B =\displaystyle... ...})\cap B =\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}(A_{\lambda}\cap B)\strut$
2. $(\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})\cap B =\displaystyle... ...})\cup B =\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}(A_{\lambda}\cup B)\strut$
3. $B-(\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}) =\displaystyle \bi... ...}A_{\lambda} =\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}(B-A_{\lambda})\strut$

証明： 1,2は演習問題とする．3のみ証明する．

$x \in B-\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$ $\iff x \in B \wedge x \notin\strut \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\strut$

$\iff x \in B \wedge \forall \lambda \in \Lambda [ x \notin\strut A_{\lambda}]\strut$

$\iff \forall \lambda \in \Lambda [x \in B \wedge x \notin\strut A_{\lambda}]\strut$

$\iff \forall \lambda \in \Lambda [x \in B-A_{\lambda}]\strut$

$\iff x \in \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}(B-A_{\lambda})\strut$

$B-\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} =\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}(B-A_{\lambda})\strut$も同様に証明できる． $\Box$

問題 3.14   定理 3.13の1及び2を証明せよ．

${\cal A}:=\{A_{\lambda}\bigm \vert\lambda \in \Lambda\}\strut$のとき， $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\strut$$ や $$\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\strut$$を $\bigcup {\cal A}\strut$， $\bigcap {\cal A}\strut$と 表すことが多い．一般に${\cal A}$が集合族であるとき，

$$x \in \bigcup {\cal A} \Leftrightarrow \exists A \in {\cal A} [x \in A]\strut$$

$$x \in \bigcap {\cal A} \Leftrightarrow \forall A \in {\cal A} [x \in A]\strut$$

が成り立つ．

例題 3.15   ${\cal A}:=\{A_{n}\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$， $A_n=\{1,2,\cdots ,n\}\strut (\forall n \in \mathbb{N})\strut$とする．このとき， $\bigcup{\cal A}=\mathbb{N}\strut$である．

解： $A_n \subseteq \mathbb{N}(\forall n \in \mathbb{N})\strut$であるから，定理3.5より $\bigcup{\cal A}\subseteq \mathbb{N}\strut$である． 一方， $n \in A_n (\forall n \in \mathbb{N})\strut$であるから， $\mathbb{N}\subseteq \bigcup\{A_{n}\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut=\bigcup{\cal A}\strut$ である． $\Box$

問題 3.16   $\bigcup {\cal P}(A)=A\strut$を示せ．