4.1 関係とは

我々は通常ふたつのものの間に“関係”があるとかないとかいう言い方をする．数学でも“大小関係”とか“合同関係” のような言い方をする．例えばふたつの実数$x,y$が与えられたら，$x$と$y$の間の“大小”が決まっている．あるいは 二つの三角形が与えられたら，“合同”であるかどうかも調べることができる．これと同じように集合$A$の任意の二つ の要素の間の“関係”というものを考える． 今，その“関係”を$R$で表すことにする．$A$の任意の要素$a$と$b$に対し， $a$と$b$の間に$R$の関係があるかどうかはっきり決まっているものとし，$a$と$b$の間に$R$の関係があることを $aRb$で表すことにする．$aRb$をみたす$a$と$b$の順序対 $(a,b)\strut$の全体を考えると，それは$A\times A$ の部分集合になる．逆に$A\times A$の部分集合$X$に対し，関係$R$を $aRb \Leftrightarrow (a,b)\in X\strut$により定義 することができる．このような考え方のもとで，以降$A\times A$の部分集合を$A$上の関係とよぶことにする．

関係(relation)$R$は，次の条件R1,R2,R3,R4を満たすとき，それぞれ反射的， 対称的，推移的， 反対称的である （あるいは反射律，対称律，推移律，反対称律をみたす）という．

• R1: $\forall a\in A [aRa]\strut$
• R2: $\forall a,b\in A [aRb \rightarrow bRa]\strut$
• R3: $\forall a,b,c\in A [aRb \wedge bRc \rightarrow aRc]\strut$
• R4: $\forall a,b\in A [aRb \wedge bRa \rightarrow a=b]\strut$

例題 4.1   $\mathbb{R}$ において， $xRy \stackrel{\mathrm{def}}{ \Leftrightarrow }\strut x\leqq y\strut$により定義される関係は反射的であるか，対称的であるか，推移的であるか， 反対称的であるか調べよ．

解： R1: 任意の実数$a$に対して，$a\leqq a$であるから反射的である．

R2: $3\leqq 4$であるが$4\leqq 3$ではないから対称的ではない．

R3: $a\leqq b$かつ$b\leqq c$ならば$a\leqq c$であるから推移的である．

R4: $a\leqq b$かつ$b\leqq a$ ならば $a=b$であるから反対称的である． $\Box$

問題 4.2   $\mathbb{R}$ において，次の関係$R$は反射的であるか，対称的であるか，推移的であるか，反対称的であるか調べよ．（反対称的であるかどうかはよく考えて答えよ．）

1. $xRy \stackrel{\mathrm{def}}{ \Leftrightarrow }\strut \vert x-y\vert\leqq 1\strut$
2. $xRy \stackrel{\mathrm{def}}{ \Leftrightarrow }\strut x-y\strut$は有理数である
3. $xRy \stackrel{\mathrm{def}}{ \Leftrightarrow }\strut x < y\strut$

集合$A$上の$n$項関係($n \geq 1$)とは$A^n\strut$の部分集合のことであるとする．集合$A$上の$n$項関係 $R\subseteq A^n$に対し， $a_1.\cdots ,a_n \in A\strut$の間に$R$の関係があることを $Ra_1\cdots a_n\strut$あるいは $R(a_1,\cdots ,a_n)\strut$で表すことにする．