2.4 逆写像

$f:A\longrightarrow B\strut$が全単射であるとき，定義より任意の $b\in B\strut$に対し， $b=f(a)\strut$となる$a\in A$がただひとつ存在する．$b$に対しこの$a$を対応させることで， $B$から$A$への写像が定まる．この写像を$f\strut$の逆写像 （$f\strut$が関数のときは逆関数）と言って， $f^{-1}\strut$で表す¹⁸．

$$(*)\qquad x=f(y) \Leftrightarrow y=f^{-1}(x)\strut$$

が成り立つ．

問題 2.46   $f:A\longrightarrow B\strut$を全単射とする．逆写像 $f^{-1}:B\longrightarrow A\strut$も全単射であることを示せ．

定理 2.47  

$A,B\subseteq \mathbb{R}\strut$で $f:A\longrightarrow B\strut$を全単射とすると，逆関数 $y=f^{-1}(x)\strut$のグラフは $y=f(x)\strut$のグラフと直線$y=x\strut$に関して対称である．

証明： $y=f(x)\strut$のグラフ上の点 P の座標を $(a,b)\strut$とする．このとき，点 P と直線$y=x\strut$と 対称な点 Q の座標は $(b,a)\strut$である． $b=f(a)\strut$であるから$(*)\strut$より $a=f^{-1}(b)\strut$である． 従って，点 Q は $y=f^{-1}(x)\strut$のグラフ上の点である．よって， $y=f^{-1}(x)\strut$のグラフと $y=f(x)\strut$のグラフは直線$y=x\strut$に関して対称である． $\Box$

定理 2.48  

$f:A\longrightarrow B\strut$を全単射とする．このとき，

$$f^{-1}\circ f=I_A,\quad f\circ f^{-1}=I_B\strut$$

である．

証明： $x=f^{-1}(f(a))\strut$とする．このとき， $f(x)=f(a)\strut$である．$f\strut$は単射であるから$x=a$である． よって，任意の$a\in A$に対し， $I_A(a)=a=f^{-1}(f(a))\strut$となる．また， $a=f^{-1}(b)\strut$とおくと， $f(a)=b\strut$であるから，任意の $b\in B\strut$に対し， $f(f^{-1}(b)=b=I_B(b)\strut$となる． $\Box$

問題 2.49   $f:A\longrightarrow B\strut$を全単射とする． $g:B\longrightarrow A\strut$が $f\circ g=I_B\strut$を みたすならば，$g\strut$は全単射でかつ $g=f^{-1}\strut$であることを示せ．

問題 2.50   $f:A\longrightarrow B\strut$と $g:B\longrightarrow C\strut$に対し， $f,g\strut$がともに全単射ならば， $g\circ f\strut$も全単射であり， $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\strut$であることを示せ．

問題 2.51   $A:=\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$を $\det A \neq 0\strut$である行列とする．このとき， $T_A^{-1}=T_{A^{-1}}\strut$ であることを示せ．（ヒント：問題 2.49）