2.3 全射・単射・全単射

2.3.1 全射

$f:A\longrightarrow B\strut$に対しては，一般に $f(A)\subseteq B\strut$であるが，特に $f(A)= B\strut$が成り立つとき，すなわち

$$\forall b\in B\exists a \in A [b=f(a)]\qquad (*)\strut$$

が成り立つとき，$f\strut$を$A$から$B$の上へ（onto）の写像， あるいは$A$から$B$への全射（surjection）といい， $f:A\xrightarrow{onto} B\strut$あるいは $f:A\twoheadrightarrow B\strut$で表す．

問題 2.26  

$$f(A)= B \Leftrightarrow (*)\strut$$

を示せ．

例題 2.27   $f(x)=x^3\strut$は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全射であることを示せ．

解： $b \in \mathbb{R}\strut$とする． $a=\sqrt[3]{b}\strut$とおくと， $f(a)=a^3=(\sqrt[3]{b})^3=b\strut$である． よって，上の条件(*)をみたすから， $f(x)\strut$は全射である． $\Box$

例題 2.28   $f:A\longrightarrow B\strut$と $g:B\longrightarrow C\strut$とする．このとき， $f,g\strut$がともに全射ならば， $g\circ f\strut$も全射であることを示せ．

解： $c\in C$とする．このとき，$g\strut$が全射であるから $g(b)=c\strut$となる $b\in B\strut$が存在する． この$b$に対し，$f\strut$が全射であることより $f(a)=b\strut$となる$a\in A$が存在する．従って， $c=g(b)=g(f(a))=(g\circ f)(a)\strut$となるから， $g\circ f\strut$も全射である． $\Box$

問題 2.29   $f:A\longrightarrow B\strut$と $g:B\longrightarrow C\strut$とする．このとき， $g\circ f\strut$が全射ならば$g\strut$は全射であることを示せ．また，この逆は一般には成り立たない，反例を考えよ．

問題 2.30   例題 2.28の逆は一般には成り立たない．反例を考えよ．

命題 2.31  

$A\subseteq\mathbb{R}\strut$, $f:A\longrightarrow \mathbb{R}\strut$とする．$f\strut$が全射であるための必要十分条件は， $x$軸に平行な任意の直線が $y=f(x)\strut$のグラフと交点を持つことである．

証明： 直線$y=b\strut$と $y=f(x)\strut$が交点を持つ

$\Leftrightarrow \exists a\in A [ (a,b)\strut$は$y=b\strut$と $y=f(x)\strut$の交点である$]\strut$

$\Leftrightarrow \exists a\in A [ b=f(a)]\strut$ $\Box$

従って，$x$軸に平行な任意の直線$y=b\strut$と $y=f(x)\strut$が交点を持つことと， $\forall b \in \mathbb{R}\exists a \in A [b=f(a)]\strut$，すなわち$f\strut$が全射であること は同値である．

例題 2.32   $f(x)=x^2(2x-3)\strut$は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全射であることを示せ．

解： $f'(x)=6x(x-1)\strut$であるから， $f(x)\strut$の増減表を書くと，

$x$	$\cdots$	$0\strut$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)\strut$	$+$		$-$		$+$
$f(x)\strut$	$\nearrow\strut$		$\searrow\strut$		$\nearrow\strut$

である．また， $$\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty\strut$$ で $f(x)\strut$は連続関数であるから， $y=f(x)\strut$は$x$軸に平行な任意の直線と交点を持つ．よって，$f\strut$は全射である． $\Box$

問題 2.33   $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5\strut$をそれぞれ次の式により定義された $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像とする． これらの写像のなかで全射であるのはどれか．

$$f_1(x)=x+1,f_2(x)=x^2-2,f_3(x)=x^3+3,f_4(x)=x^3-x^2,f_5(x)=e^x\strut$$

問題 2.34   $A,B\ne \varnothing\strut$とする．直積$A\times B$の各要素 $(a,b)\strut$に対して， その第１成分（第２成分）を対応させる写像 pr$_1\strut($pr$_2)\strut$

pr$$_1:A\times B \longrightarrow A\quad (a,b)\longmapsto a\strut$$

pr$$_2:A\times B \longrightarrow B\quad (a,b)\longmapsto b\strut$$

を射影 (projection)という．射影は全射であることを示せ．

命題 2.35   任意の集合$A$に対し，$A$から$A$のべき集合 ${\cal P}(A)\strut$の上への写像は存在しない．

証明： そのような写像 $f:A\xrightarrow{onto} {\cal P}(A)\strut$が存在したとする．このとき，各$a\in A$ に対し， $A_a:=f(a)\strut$とおき，さらに $X:=\{a \in A \bigm \vert a \notin\strut A_a\}\strut$とする． $X\subseteq A$であるから $X\in {\cal P}(A)\strut$である．従って$f\strut$が ${\cal P}(A)\strut$の上への 写像であることより， $X=f(b)=A_b\strut$となる $b\in A\strut$が存在するが，このとき， $\forall x \in A [x\in X \Leftrightarrow x \in A_b]\strut$であるから，特に$x$として$b$をとると，

$$b\in X \Leftrightarrow b \in A_b\strut$$

である．一方，$X$の定義より， $b\in X \Leftrightarrow b\notin\strut A_b$ となり， $b\in A_b\strut$であることと $b\notin\strut A_b\strut$が同値となり矛盾する．よって，$A$から ${\cal P}(A)\strut$への上への写像は存在しない． $\Box$

2.3.2 単射

$f:A\longrightarrow B\strut$において，一般に $f(x_1)=f(x_2)\strut$であるからといって $x_1=x_2\strut$とは限らない． 例えば，上の例題2.32では $f(0)=f(3/2)=0\strut$である． $f(x_1)=f(x_2)\strut$ならば常に $x_1=x_2\strut$となるとき， $f\strut$を$A$から$B$への１対１（one to one）の写像， あるいは$A$から$B$への単射（injection）とよび， $f:A\xrightarrow{1-1} B\strut$あるいは $f:A\rightarrowtail B\strut$で表す． $f:A\xrightarrow{1-1} B\strut$のとき定義より

$$\forall a,b\in A [a\ne b \rightarrow f(a)\ne f(b)]\strut$$

である．

例題 2.36   $f(x)=x^3\strut$は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単射であることを示せ．

解： $a^3=b^3\strut$とする． $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=0\strut$より $a=b$である．よって， $f(x)=x^3\strut$は単射である． $\Box$

問題 2.37   $f(x)=\log x\strut$は $\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert x>0\}\strut$から $\mathbb{R}$ への単射であることを示せ．

例題 2.38   $f:A\longrightarrow B\strut$と $g:B\longrightarrow C\strut$とする．このとき， $f,g\strut$がともに単射ならば， $g\circ f\strut$も単射であることを示せ．

証明： $g\circ f(a)=g\circ f(b)\strut$とする． $g(f(a))=g(f(b))\strut$で $g\strut$が単射であるから， $f(a)=f(b)\strut$であり，さらに$f\strut$も単射であるから $a=b$を得る．よって，$f,g\strut$がともに単射ならば， $g\circ f\strut$も単射である． $\Box$

問題 2.39   $f:A\longrightarrow B\strut$と $g:B\longrightarrow C\strut$とする．このとき， $g\circ f\strut$が単射ならば$f\strut$が単射であることを示せ．また，この逆は一般には成り立たない，反例を考えよ．

命題 2.40  

$A\subseteq\mathbb{R}\strut$, $f:A\longrightarrow \mathbb{R}\strut$とする．$f\strut$が単射であるための必要十分条件は， $x$軸に平行な任意の直線が $y=f(x)\strut$のグラフと高々１つの交点を持つことである．

証明： 任意の $b \in \mathbb{R}\strut$ に対し，直線$y=b\strut$と $y=f(x)\strut$が高々１つ交点を持つ

$\Leftrightarrow \forall b \in \mathbb{R}\forall a_1,a_2\in A [(a_1,b)\strut$と $(a_2,b)\strut$がともに $y=b\strut$ と $y=f(x)\strut$ の交点であるならば $a_1=a_2\strut$である $]\strut$

$\Leftrightarrow \forall b \in \mathbb{R}\forall a_1,a_2\in A [ b=f(a_1) \wedge b=f(a_2) \rightarrow a_1=a_2]\strut$

$\Leftrightarrow \forall a_1,a_2\in A [ f(a_1)=f(a_2) \rightarrow a_1=a_2]\strut$

従って，$f\strut$が単射であることと$x$軸に平行な任意の直線が $y=f(x)\strut$のグラフと高々１つの交点を持つことは同値である． $\Box$

問題 2.41   $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5\strut$をそれぞれ次の式により定義された $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像とする． これらの写像のなかで単射であるのはどれか．

$$f_1(x)=x+1,f_2(x)=x^2-2,f_3(x)=x^3+3,f_4(x)=x^3-x^2,f_5(x)=e^x\strut$$

2.3.3 全単射

全射かつ単射である写像を，全単射（bijection）あるいは１対１かつ上への写像（one to one onto）とよび， $f:A\xrightarrow[onto]{1-1} B\strut$で表す． $f:A\longrightarrow B\strut$が全単射のとき， $f\strut$を$A$と$B$の間の１対１対応とよぶこともある．$A$から$A$への写像で$A$の各元にそれ自身を対応させる写像を $A$上の恒等写像とよび$I_A\strut$で表す．恒等写像は全単射である．

定理 2.42   $f:A\longrightarrow B\strut$が全単射であるための必要十分条件は任意の $b\in B\strut$に対し $b=f(a)\strut$をみたす$a\in A$がただ一つ存在することであることを示せ．

証明： $f:A\longrightarrow B\strut$が全単射であるとする．$f\strut$は全射であるから， 任意の $b\in B\strut$に対し $b=f(a)\strut$となる$a\in A$が存在する． $b\in B\strut$に対し， $b=f(a)=f(a')\strut$とすると， $f(a)=f(a')\strut$で$f\strut$は単射であるから $a=a'\strut$となる． よって，任意の $b\in B\strut$に対し $b=f(a)\strut$をみたす$a\in A$がただ一つ存在する． 逆に，任意の $b\in B\strut$に対し $b=f(a)\strut$をみたす$a\in A$がただ一つ存在するとする． このとき，$f\strut$が全射であることは明らかである．$f\strut$が単射であることを示す． $f(a)=f(a')\strut$とする． $b=f(a)=f(a')\strut$とおくと，仮定より $b=f(a)\strut$となる$a\in A$ はただ一つであるから $a=a'\strut$である．よって，$f\strut$は単射である． $\Box$

問題 2.43   $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5\strut$をそれぞれ次の式により定義された $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像とする． これらの写像のなかで全単射であるのはどれか．

$$f_1(x)=x+1,f_2(x)=x^2-2,f_3(x)=x^3+3,f_4(x)=x^3-x^2,f_5(x)=e^x\strut$$

例題 2.44   $A:=\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$とする．$T_A\strut$を例 2.1の線形写像とする．このとき， $T_A\strut$が全単射であるための必要十分条件は$A$が正則である，すなわち $\det A \neq 0\strut$で あることを示せ．

解： $\det A\ne 0\strut$とする．このとき，$A$は逆行列をもつから任意の $\left( \!\!\begin{array}{c} u v \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$に対し $T_A\left( \!\!\begin{array}{c} x y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}... ...left( \!\!\begin{array}{c} u v \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$をみたす $\left( \!\!\begin{array}{c} x y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$は $A^{-1}\left( \!\!\begin{array}{c} u v \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$ のみである．よって，定理2.42より$T_A\strut$は全単射である．逆に$T_A\strut$が全単射かつ $ad-bc=0\strut$とする．このとき， $T_A\left( \!\!\begin{array}{c} d 0 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}... ...ft( \!\!\begin{array}{c} bc cd \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$で$T_A\strut$は単射であるから， $\left( \!\!\begin{array}{c} d 0 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8p... ...left( \!\!\begin{array}{c} 0 c \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$ となり，$c=d=0$となる．しかし，このとき任意の$x,y\strut$に対し， $T_A\left( \!\!\begin{array}{c} x y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}... ...( \!\!\begin{array}{c} ax+by 0 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$ となり， $\left( \!\!\begin{array}{c} u v \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt} (v\ne 0)$の形のベクトルは$T_A\strut$の像には属さない．これは$T_A\strut$が 全射であることに反する． $\Box$

問題 2.45   $A$の元の数が$m$個，$B$の元の個数が$n$個とする．

1. $m\leqq n$のとき，$A$から$B$への単射の個数は全部でいくつか．
2. $m=n$のとき，$A$から$B$への全単射の個数は全部でいくつか．