2.2 写像の合成（合成写像）

$f:A\longrightarrow B\strut$と $g:C\longrightarrow D$が与えられたとき， $B\subseteq C$ならば$A$の任意の元$a$に対して $f(a)\in B \subseteq C\strut$より $g(f(a))\strut$が定義できる¹⁷． このとき，$a\in A$に対し $g(f(a))\strut$を対応させることにより，$A$から$D$への写像を定義することができる． この写像を $g\circ f\strut$で表し，$f\strut$と$g$の合成 （あるいは合成写像）とよぶ．

$$\forall x \in A[(g\circ f)(x)=g(f(x))]\strut$$

である．合成写像を考えるときは合成の順序は重要である． $g\circ f\strut$が 定義されるとき， $f\circ g\strut$が定義できるとは限らず，たとえ定義できたとしても $g\circ f\strut$と $f\circ g\strut$は通常同じ写像にはならない．

例 2.21  

$\log (x^2+2)\strut$は，二つの写像（関数） $f(x)=x^2+2\strut$と $g(x)=\log x\strut$の合成である．

例 2.22  

$f(x)=x^2+2\strut$と $g(x)=x-3\strut$とすると，$f\strut$と$g$の定義域および値域は ともに $\mathbb{R}$ であるから， $g\circ f, f\circ g\strut$のどちらも定義できる． この合成関数を具体的に求めると

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+2)=(x^2+2)-3=x^2-1\strut$$

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-3)=(x-3)^2+2\strut$$

であり， $g\circ f \neq f\circ g\strut$である．

問題 2.23   $f(x)=2x^3\strut$と $g(x)=x+1\strut$とする． $(g\circ f)(x)\strut$と $(f\circ g)(x)\strut$を求めよ．

命題 2.24  

写像の合成に関しては結合法則が成り立つ．すなわち， $f:A\longrightarrow B, g:B\longrightarrow C, h:C\longrightarrow D\strut$に対し，

$$(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\strut$$

である．

証明： $x\in A$とする．このとき， $((h\circ g)\circ f )(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))=h((g\circ f)(x))=(h\circ (g\circ f))(x)\strut$ である．よって， $(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\strut$である． $\Box$

問題 2.25   $f(x)=2x^3 , g(x)=x+1 , h(x)=x^2+2\strut$とする．

$$(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\strut$$

を確かめよ．