2.2 写像の合成(合成写像)

$ f:A\longrightarrow B\strut$ $ g:C\longrightarrow D$が与えられたとき, $ B\subseteq C$ならば$ A$の任意の元$ a$に対して $ f(a)\in B \subseteq C\strut$より $ g(f(a))\strut$が定義できる17. このとき,$ a\in A$に対し $ g(f(a))\strut$を対応させることにより,$ A$から$ D$への写像を定義することができる. この写像を $ g\circ f\strut$で表し,$ f\strut$$ g$合成 (あるいは合成写像)とよぶ.

$\displaystyle \forall x \in A[(g\circ f)(x)=g(f(x))]\strut$

である.合成写像を考えるときは合成の順序は重要である. $ g\circ f\strut$が 定義されるとき, $ f\circ g\strut$が定義できるとは限らず,たとえ定義できたとしても $ g\circ f\strut$ $ f\circ g\strut$は通常同じ写像にはならない.

2.21  

$ \log (x^2+2)\strut$は,二つの写像(関数) $ f(x)=x^2+2\strut$ $ g(x)=\log x\strut$の合成である.

2.22  

$ f(x)=x^2+2\strut$ $ g(x)=x-3\strut$とすると,$ f\strut$$ g$の定義域および値域は ともに $ \mathbb{R}$ であるから, $ g\circ f, f\circ g\strut$のどちらも定義できる. この合成関数を具体的に求めると

$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+2)=(x^2+2)-3=x^2-1\strut$

$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-3)=(x-3)^2+2\strut$

であり, $ g\circ f \neq f\circ g\strut$である.

問題 2.23   $ f(x)=2x^3\strut$ $ g(x)=x+1\strut$とする. $ (g\circ f)(x)\strut$ $ (f\circ g)(x)\strut$を求めよ.

命題 2.24  

写像の合成に関しては結合法則が成り立つ.すなわち, $ f:A\longrightarrow B, g:B\longrightarrow C, h:C\longrightarrow D\strut$に対し,

$\displaystyle (h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\strut$

である.

証明$ x\in A$とする.このとき, $ ((h\circ g)\circ f )(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))=h((g\circ f)(x))=(h\circ (g\circ f))(x)\strut$ である.よって, $ (h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\strut$である. $ \Box$

問題 2.25   $ f(x)=2x^3 , g(x)=x+1 , h(x)=x^2+2\strut$とする.

$\displaystyle (h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\strut$

を確かめよ.

TAKAHASHI Makoto : http://herb.h.kobe-u.ac.jp/