2.1 写像とは

$A,B$を集合とする．$A$のひとつひとつの元に対し，$B$の元を一つ対応させる規則が定められていて， その対応を記号$f\strut$で表すとき，$A$から$B$への写像(map)$f\strut$が与えられると言う．（ 但し，対応が具体的な式で表される必要はない．） $A$や$B$が数の集合のとき，写像のことを関数(function)とよぶことが多い． また扱う集合によって写像のことを作用素 とか変換あるいは演算とよぶこともある．

例 2.1  

1. 三角関数 $\sin x$は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像（関数）である．
2. $A$を２次行列とする． $T_A\left( \!\!\begin{array}{c} x y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}... ...left( \!\!\begin{array}{c} x y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$とすると， $T_A$は$2$項列ベクトルを別の$2$項列ベクトルに移す写像である．（$T_A$を行列$A$に より決まる線形写像とよぶ．）
3. $\mathcal{D}$を微分可能な実数上の１変数関数の全体の集合とする． $f \in \mathcal{D}\strut$に対し， $D(f)=f'\strut$ とすると$D$は $\mathcal{D}$の元$f\strut$に対し，その導関数$f'\strut$を対応させる写像である．（$D$を微分作用素とよぶ．）

$f\strut$が$A$から$B$への写像であるとき， $f:A\longrightarrow B\strut$で表し， $A$を$f\strut$の定義域(domain)または始域と言い $dom (f)\strut$で表す． また，$B$を終域とよぶ． 写像 $f:A\longrightarrow B\strut$によって，$a\in A$が $b\in B\strut$に対応することを， $f:a\mapsto b\strut$で表す． このとき$b$を$a$の$f\strut$による像と言い $f(a)\strut$であらわす． 上の例2.1の1の対応を$f\strut$で表すとき， $f(x)=\sin x\strut$である． 従って $f(x)=\strut$`$x$の式' のような表現を与えると一つの写像（関数）が得られることになる$\strut$．このように式を与えて写像を定義する場合，定義域が何であるかが不明であるが，一般に定義域が具体的に何も言及されていないときは，値の定義される元全体 を定義域と考えるのが普通である．

$f\strut$と$g$を$A$から$B$への写像とする．$A$の任意の元$x$の$f,g\strut$による像が一致するとき， $f\strut$と$g$は等しいと言い，$f=g\strut$で表す．$A$から$B$への写像全体も集合である． この集合を $A\longrightarrow B$（あるいは$B^A$）で表す．

例題 2.2   $A:=\{1,2,3\}\strut, B:=\{1,2\}\strut$とするとき， $A\longrightarrow B$に属する元（すなわち$A$から$B$への写像） の個数は全部でいくつか．

解： $A$から$B$への写像は$A$の各元$1,2,3$に$B$の元$1,2$のどちらかを対応させることにより決まるから， その対応は次のような表の空白部分に$1$と$2$のどちらを書くかで決まる．

1	2	3

このような表の全体は $2\times 2\times 2=2^3=8\strut$通りある． $\Box$

問題 2.3   $A$の元の数が$m$個，$B$の元の個数が$n$個のとき， $A\longrightarrow B$に属する元の個数は全部でいくつか．

$f(A):=\{f(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$を$f\strut$の像(image)あるいは$f\strut$の値域とよぶ． $f\strut$の値域を $f\lq\lq A\strut$あるいは $Im (f)\strut$で表すこともある．

$$x \in f(A) \iff x=f(a)\textrm{ for some }a\in A\strut$$

である．

例 2.4   $f(x)=x^2+2\strut$において，$f\strut$の定義域を実数全体と考えるとき，$f\strut$の像は例題より $\{x^2+2 \bigm \vert x \in \mathbb{R}\}\strut=\{ x\in \mathbb{R}\bigm \vert x\geq 2 \}\strut$である．

問題 2.5   $$A=\left( \begin{array}{cc} 1&-2 \\ 2&-4 \end{array} \right)$$とする．このとき，$A$によりきまる線形写像$T_A$の像 $T_A(\mathbb{R}^2)\strut$を求めよ．

$A$の部分集合$C$に対しても，$C$の元の$f\strut$による像の全体を， $C$の$f\strut$による像（あるいは$f\strut$を$C$に制限したときの像）と言い $f(C)\strut$あるいは $f\lq\lq C\strut$で表す．

$$f(C):=\{f(x)\bigm \vert x\in C\}\strut$$

$\{f(x)\bigm \vert x\in C\}\strut=\{y\bigm \vert \exists x\in C [y=f(x)]\}\strut$であるから， $C= \varnothing$ ならば $f(C)=\varnothing\strut$である．

定理 2.6   $f:A\longrightarrow B\strut$とする． $C,D\subseteq A$とするとき， 次の関係が成り立つ．

1. $C\subseteq D \rightarrow f(C)\subseteq f(D)\strut$
2. $f(C\cup D)=f(C)\cup f(D)\strut$
3. $f(C\cap D)\subseteq f(C)\cap f(D)\strut$

証明： 1: $C\subseteq D , x \in f(C)\strut$とする． $x=f(c)\strut$となる$c\in C$が存在する． このとき， $C\subseteq D$より$c\in D$となり $x=f(c)\in f(D)\strut$となる．

2: $C,D\subseteq C\cup D$であるから，1.より $f(C),f(D)\subseteq f(C\cup D)\strut$である． よって， $f(C)\cup f(D)\subseteq f(C\cup D)\strut$である．逆に， $x\in f(C\cup D)\strut$とすると， $x=f(a)\strut$ となる $a \in C\cup D$が存在する．このとき，$a\in C$ならば $x\in f(C)\strut$であり，$a\in D$ならば $x\in f(D)\strut$ である．従って，いずれにしても $x\in f(C)\cup f(D)\strut$が成り立つ．

3: $C\cap D \subseteq C,D$であるから，1.より $f(C\cap D)\subseteq f(C), f(D)\strut$である． よって， $f(C\cap D)\subseteq f(C)\cap f(D)\strut$である．

$\Box$

問題 2.7   定理 2.6の1の逆は一般には成り立たない．反例を考えよ．

問題 2.8   定理 2.6の3において， $f(C\cap D)= f(C)\cap f(D)\strut$は一般には成り立たない．反例を考えよ．

$f:A\longrightarrow A\strut$ かつ $X\subseteq A\strut$とする． $f(X)\subseteq X\strut$となる， すなわち

$$\forall a \in X [f(a)\in X]\strut$$

をみたすとき$X$は$f\strut$に関して閉じているという． 同様に， $f:A^n\longrightarrow A ,X\subseteq A\strut$に対し， $f(X^n)\subseteq X\strut$ となる，すなわち

$$\forall a_1,\cdots ,a_n\in X [f(a_1,\cdots ,a_n)\in X]\strut$$

となるとき $X$は$f\strut$に関して閉じているという．

例題 2.9   $X:=\left\{ M\in M_n(\mathbb{R}) \bigm \vert \det M =1 \right\}$とする．このとき，$X$は行列の積を とる演算及び逆行列をとる演算に関して閉じていることを示せ．

解： $M,N\in M_n(\mathbb{R})\strut$とする． $\det (MN)=\det(M)\det(N)=1\strut$より $MN\in M_n(\mathbb{R})\strut$である．よって，$X$は行列の積に関して閉じている． また，$A\in X$に対し $\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=\det(A^{-1})\strut$で $\det(AA^{-1})=\det(E)=1\strut$であるから， $A^{-1}\in X\strut$となる．よって，$X$は 逆行列に関しても閉じている． $\Box$

実数 $a,b(a<b)\strut$に対し，$a$と$b$の間にある実数の集合を考える．このとき$a,b\strut$をその集合に含めるかどうかを考慮すると， つぎのような４種類の集合を考えられる．

1. $[a,b]:=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a\leqq x \wedge x\leqq b\}\strut$
2. $[a,b):=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a\leqq x \wedge x< b\}\strut$
3. $(a,b]:=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a < x \wedge x\leqq b\}\strut$
4. $(a,b):=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a < x \wedge x< b\}\strut$

$[a,b]\strut$の形の集合を閉区間とよび， $(a,b)\strut$の形の集合を開区間とよぶ． ¹⁶

例題 2.10   例 2.4で$f\strut$を閉区間 $[-1,2]\strut$に制限したときの像はどのような集合か．

解： $f(x)=x^2+2\strut$の閉区間 $[-1,2]\strut$における関数値の増減は

$x$	$-1$	$\cdots$	$0\strut$	$\cdots$	$2$
$f(x)\strut$	$3$	$\searrow\strut$	$2$	$\nearrow\strut$	$6$

であるから，この区間では $2\leqq f(x) \leqq 6\strut$である．従って， $f([-1,2])\subseteq [2,6]\strut$ である．また， $2\leqq y \leqq 6$をみたす任意の$y$に対して， $x=\sqrt{y-2}\strut$とおくと $y=f(x)\strut$を みたすから， $[2,6]\subseteq f([-1,2])\strut$も成り立つ．よって，

$$f([-1,2])= [2,6]\strut$$

である． $\Box$

問題 2.11   $f(x)=x^3-3x\strut$で定まる $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像$f\strut$に対し，次を確かめよ．

1. $f((0,2))=[-2,2)\strut$
2. $f((-\sqrt 3 ,\sqrt 3 ))=[-2,2]\strut$

$f:A\longrightarrow B\strut$とする． $D\subseteq B$に対し，その像が$D$に属するような$A$の元全体を$D$の（$f\strut$に関する） 逆像(inverse image)とよび， $f^{-1}(D)\strut$で表す．

$$f^{-1}(D):=\{x\in A\bigm \vert f(x)\in D\}\strut$$

定義より，

$$\forall x \in A [ x \in f^{-1}(D) \Leftrightarrow f(x) \in D]\strut$$

が成り立つ．また， $D\subseteq f(A)\strut$とは 限らないので，$D$の元$b$に対し， $f(x)=b\strut$となる$x\in A$が存在するとは限らない． 従って， $C\subseteq A$のとき， $C\neq \varnothing\strut$ならば $f(C)\neq \varnothing\strut$ であるが， $D\subseteq B$のときは， $D\neq \varnothing\strut$であっても $f^{-1}(D)=\varnothing\strut$となることがある．

例題 2.12   $f:A\longrightarrow B, D\subseteq B\strut$とする． $f^{-1}(D)=f^{-1}(f(A)\cap D)\strut$を示せ．

解： $x\in A$のとき， $f(x)\in f(A)\strut$は常に成り立つから，

$x \in f^{-1}(D)\strut$

$\Leftrightarrow x \in A \wedge f(x) \in D \strut$

$\Leftrightarrow x \in A \wedge f(x) \in f(A) \wedge f(x)\in D \strut$

$\Leftrightarrow x \in A \wedge f(x) \in f(A)\cap D \strut$

$\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A)\cap D)\strut$

である． $\Box$

問題 2.13   $f(x)=x^3-3x\strut$で定まる $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像$f\strut$に対し，次を確かめよ．

$f^{-1}([-2,0))=(0,\sqrt 3)\cup [-2,-\sqrt 3 )\strut$

定理 2.14   $f:A\longrightarrow B\strut$とする． $E,F\subseteq B$とするとき， 次の関係が成り立つ．

1. $E\subseteq F \rightarrow f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)\strut$
2. $f^{-1}(E\cup F)=f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)\strut$
3. $f^{-1}(E\cap F)=f^{-1}(E)\cap f^{-1}(F)\strut$
4. $f^{-1}(B-E)=A-f^{-1}(E)\strut$
5. $f(f^{-1}(E))=E\cap f(A)\strut$

証明： 1: $E\subseteq F , x \in f^{-1}(E)\strut$とする．原像の定義より $f(x)\in E\strut$である． このとき， $E\subseteq F$より $f(x)\in F\strut$となり $x\in f^{-1}(F)\strut$を得る．

2: $x \in f^{-1}(E\cup F)\strut$

$\Leftrightarrow f(x) \in E\cup F\strut$

$\Leftrightarrow f(x)\in E \vee f(x) \in F\strut$

$\Leftrightarrow x \in f^{-1}(E) \vee x \in f^{-1}(F)\strut$

$\Leftrightarrow x \in f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)\strut$

3: 演習問題

4: $x \in f^{-1}(B-E)\strut$

$\Leftrightarrow f(x) \in B-E\strut$

$\Leftrightarrow f(x) \in B \wedge f(x) \notin\strut E\strut$

$\Leftrightarrow x \in f^{-1}(B)=A \wedge x \notin\strut f^{-1}(E)\strut$

$\Leftrightarrow x \in A-f^{-1}(E)\strut$

5: 演習問題 $\Box$

問題 2.15   $E\cap f(A)\subseteq F\cap f(A) \Leftrightarrow f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)\strut$を示せ．

問題 2.16   定理 2.14の1の逆は一般には成り立たない．反例を考えよ．（ヒント：問 2.15）

問題 2.17   定理 2.14の3と5を証明せよ．

問題 2.18   $f:A\longrightarrow B, C\subseteq A\strut$とするとき， $C\subseteq f^{-1}(f(C))\strut$が成り立つことを示せ． また，一般には $C= f^{-1}(f(C))\strut$とは限らない．反例を考えよ．

$f:A\longrightarrow B\strut$ かつ $C\subseteq A\strut$とする．$f\strut$を$C$の元にのみついて考えると， $C$から$B$への写像が得られる．この写像を$f\strut$の$C$への制限といい， $f\vert _C\strut$で表す． 定義より， $dom(f\vert _C)=C, Im(f\vert _C)=f(C)\strut$である．

命題 2.19   $f:A\longrightarrow B\strut$, $C\subseteq A, D\subseteq B$とする．このとき， $C\cap f^{-1}(D)\neq \varnothing\strut$ であるための必要十分条件は $f(C)\cap D \neq \varnothing\strut$である． 特に， $D=\{a\}\strut$のとき， $C\cap f^{-1}(\{a\}\strut)\neq \varnothing\strut$であるための必要十分条件は $a\in f(C)\strut$ である．

上の命題2.19を利用すると，写像の像に関する命題の別証明が得られる．例えば定理2.6の１は次のように証明できる．

証明： 1: $C\subseteq D , x \in f(C)\strut$とする．このとき命題2.19より $C\cap f^{-1}(\{x\}\strut)\neq \varnothing\strut$である． $C\subseteq D$より $D\cap f^{-1}(\{x\}\strut)\neq \varnothing\strut$であるから再び命題2.19より $x\in f(D)\strut$となる． $\Box$

問題 2.20   定理 2.6の２と３を命題 2.19を用いて証明せよ．