2.1 写像とは

$ A,B$を集合とする.$ A$のひとつひとつの元に対し,$ B$の元を一つ対応させる規則が定められていて, その対応を記号$ f\strut$で表すとき,$ A$から$ B$への写像(map)$ f\strut$が与えられると言う.( 但し,対応が具体的な式で表される必要はない.) $ A$$ B$が数の集合のとき,写像のことを関数(function)とよぶことが多い. また扱う集合によって写像のことを作用素 とか変換あるいは演算とよぶこともある.

2.1  

  1. 三角関数 $ \sin x$ $ \mathbb{R}$ から $ \mathbb{R}$ への写像(関数)である.
  2. $ A$を2次行列とする. $ T_A\left( \!\!\begin{array}{c} x  y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}...
...left( \!\!\begin{array}{c} x  y \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$とすると, $ T_A$$ 2$項列ベクトルを別の$ 2$項列ベクトルに移す写像である.($ T_A$を行列$ A$に より決まる線形写像とよぶ.)
  3. $ \mathcal{D}$を微分可能な実数上の1変数関数の全体の集合とする. $ f \in \mathcal{D}\strut$に対し, $ D(f)=f'\strut$ とすると$ D$ $ \mathcal{D}$の元$ f\strut$に対し,その導関数$ f'\strut$を対応させる写像である.($ D$を微分作用素とよぶ.)

$ f\strut$$ A$から$ B$への写像であるとき, $ f:A\longrightarrow B\strut$で表し, $ A$$ f\strut$定義域(domain)または始域と言い $ dom (f)\strut$で表す. また,$ B$終域とよぶ. 写像 $ f:A\longrightarrow B\strut$によって,$ a\in A$ $ b\in B\strut$に対応することを, $ f:a\mapsto b\strut$で表す. このとき$ b$$ a$$ f\strut$による像と言い $ f(a)\strut$であらわす. 上の例2.1の1の対応を$ f\strut$で表すとき, $ f(x)=\sin x\strut$である. 従って $ f(x)=\strut$`$ x$の式' のような表現を与えると一つの写像(関数)が得られることになる$ \strut$.このように式を与えて写像を定義する場合,定義域が何であるかが不明であるが,一般に定義域が具体的に何も言及されていないときは,値の定義される元全体 を定義域と考えるのが普通である.

$ f\strut$$ g$$ A$から$ B$への写像とする.$ A$の任意の元$ x$$ f,g\strut$による像が一致するとき, $ f\strut$$ g$は等しいと言い,$ f=g\strut$で表す.$ A$から$ B$への写像全体も集合である. この集合を $ A\longrightarrow B$(あるいは$ B^A$)で表す.

例題 2.2   $ A:=\{1,2,3\}\strut, B:=\{1,2\}\strut$とするとき, $ A\longrightarrow B$に属する元(すなわち$ A$から$ B$への写像) の個数は全部でいくつか.

$ A$から$ B$への写像は$ A$の各元$ 1,2,3$$ B$の元$ 1,2$のどちらかを対応させることにより決まるから, その対応は次のような表の空白部分に$ 1$$ 2$のどちらを書くかで決まる.

1 2 3
     

このような表の全体は $ 2\times 2\times 2=2^3=8\strut$通りある. $ \Box$

問題 2.3   $ A$の元の数が$ m$個,$ B$の元の個数が$ n$個のとき, $ A\longrightarrow B$に属する元の個数は全部でいくつか.

$ f(A):=\{f(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$$ f\strut$(image)あるいは$ f\strut$値域とよぶ. $ f\strut$の値域を $ f\lq\lq  A\strut$あるいは $ Im (f)\strut$で表すこともある.

$\displaystyle x \in f(A) \iff x=f(a)\textrm{ for some }a\in A\strut$

である.

2.4   $ f(x)=x^2+2\strut$において,$ f\strut$の定義域を実数全体と考えるとき,$ f\strut$の像は例題より $ \{x^2+2 \bigm \vert x \in \mathbb{R}\}\strut=\{ x\in \mathbb{R}\bigm \vert x\geq 2 \}\strut$である.

問題 2.5   \begin{displaymath}A=\left(
\begin{array}{cc}
1&-2 \\
2&-4
\end{array}
\right)\end{displaymath}とする.このとき,$ A$によりきまる線形写像$ T_A$の像 $ T_A(\mathbb{R}^2)\strut$を求めよ.

$ A$の部分集合$ C$に対しても,$ C$の元の$ f\strut$による像の全体を, $ C$$ f\strut$による(あるいは$ f\strut$$ C$に制限したときの像)と言い $ f(C)\strut$あるいは $ f\lq\lq C\strut$で表す.

$\displaystyle f(C):=\{f(x)\bigm \vert x\in C\}\strut$

$ \{f(x)\bigm \vert x\in C\}\strut=\{y\bigm \vert \exists x\in C [y=f(x)]\}\strut$であるから, $ C= \varnothing$ ならば $ f(C)=\varnothing\strut$である.

定理 2.6   $ f:A\longrightarrow B\strut$とする. $ C,D\subseteq A$とするとき, 次の関係が成り立つ.
  1. $ C\subseteq D  \rightarrow f(C)\subseteq f(D)\strut$
  2. $ f(C\cup D)=f(C)\cup f(D)\strut$
  3. $ f(C\cap D)\subseteq f(C)\cap f(D)\strut$

証明1: $ C\subseteq D , x \in f(C)\strut$とする. $ x=f(c)\strut$となる$ c\in C$が存在する. このとき, $ C\subseteq D$より$ c\in D$となり $ x=f(c)\in f(D)\strut$となる.

2: $ C,D\subseteq C\cup D$であるから,1.より $ f(C),f(D)\subseteq f(C\cup D)\strut$である. よって, $ f(C)\cup f(D)\subseteq f(C\cup D)\strut$である.逆に, $ x\in f(C\cup D)\strut$とすると, $ x=f(a)\strut$ となる $ a \in C\cup D$が存在する.このとき,$ a\in C$ならば $ x\in f(C)\strut$であり,$ a\in D$ならば $ x\in f(D)\strut$ である.従って,いずれにしても $ x\in f(C)\cup f(D)\strut$が成り立つ.

3: $ C\cap D \subseteq C,D$であるから,1.より $ f(C\cap D)\subseteq f(C), f(D)\strut$である. よって, $ f(C\cap D)\subseteq f(C)\cap f(D)\strut$である.

$ \Box$

問題 2.7   定理 2.6の1の逆は一般には成り立たない.反例を考えよ.

問題 2.8   定理 2.6の3において, $ f(C\cap D)= f(C)\cap f(D)\strut$は一般には成り立たない.反例を考えよ.

$ f:A\longrightarrow A\strut$ かつ $ X\subseteq A\strut$とする. $ f(X)\subseteq X\strut$となる, すなわち

$\displaystyle \forall a \in X [f(a)\in X]\strut$

をみたすとき$ X$$ f\strut$に関して閉じているという. 同様に, $ f:A^n\longrightarrow A ,X\subseteq A\strut$に対し, $ f(X^n)\subseteq X\strut$ となる,すなわち

$\displaystyle \forall a_1,\cdots ,a_n\in X [f(a_1,\cdots ,a_n)\in X]\strut$

となるとき $ X$$ f\strut$に関して閉じているという.

例題 2.9   $ X:=\left\{ M\in M_n(\mathbb{R}) \bigm \vert \det M =1 \right\}$とする.このとき,$ X$は行列の積を とる演算及び逆行列をとる演算に関して閉じていることを示せ.

$ M,N\in M_n(\mathbb{R})\strut$とする. $ \det (MN)=\det(M)\det(N)=1\strut$より $ MN\in M_n(\mathbb{R})\strut$である.よって,$ X$は行列の積に関して閉じている. また,$ A\in X$に対し $ \det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=\det(A^{-1})\strut$ $ \det(AA^{-1})=\det(E)=1\strut$であるから, $ A^{-1}\in X\strut$となる.よって,$ X$は 逆行列に関しても閉じている. $ \Box$

実数 $ a,b(a<b)\strut$に対し,$ a$$ b$の間にある実数の集合を考える.このとき$ a,b\strut$をその集合に含めるかどうかを考慮すると, つぎのような4種類の集合を考えられる.

  1. $ [a,b]:=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a\leqq x  \wedge x\leqq b\}\strut$
  2. $ [a,b):=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a\leqq x  \wedge x< b\}\strut$
  3. $ (a,b]:=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a < x  \wedge x\leqq b\}\strut$
  4. $ (a,b):=\{x\in \mathbb{R}\bigm \vert a < x  \wedge x< b\}\strut$

$ [a,b]\strut$の形の集合を閉区間とよび, $ (a,b)\strut$の形の集合を開区間とよぶ. 16

例題 2.10   2.4$ f\strut$を閉区間 $ [-1,2]\strut$に制限したときの像はどのような集合か.

$ f(x)=x^2+2\strut$の閉区間 $ [-1,2]\strut$における関数値の増減は

$ x$ $ -1$ $ \cdots$ $ 0\strut$ $ \cdots$ $ 2$
$ f(x)\strut$ $ 3$ $ \searrow\strut$ $ 2$ $ \nearrow\strut$ $ 6$

であるから,この区間では $ 2\leqq f(x) \leqq 6\strut$である.従って, $ f([-1,2])\subseteq [2,6]\strut$ である.また, $ 2\leqq y \leqq 6$をみたす任意の$ y$に対して, $ x=\sqrt{y-2}\strut$とおくと $ y=f(x)\strut$を みたすから, $ [2,6]\subseteq f([-1,2])\strut$も成り立つ.よって,

$\displaystyle f([-1,2])= [2,6]\strut$

である. $ \Box$

問題 2.11   $ f(x)=x^3-3x\strut$で定まる $ \mathbb{R}$ から $ \mathbb{R}$ への写像$ f\strut$に対し,次を確かめよ.
  1. $ f((0,2))=[-2,2)\strut$
  2. $ f((-\sqrt 3 ,\sqrt 3 ))=[-2,2]\strut$

$ f:A\longrightarrow B\strut$とする. $ D\subseteq B$に対し,その像が$ D$に属するような$ A$の元全体を$ D$の($ f\strut$に関する) 逆像(inverse image)とよび, $ f^{-1}(D)\strut$で表す.

$\displaystyle f^{-1}(D):=\{x\in A\bigm \vert f(x)\in D\}\strut$

定義より,

$\displaystyle \forall x \in A [ x \in f^{-1}(D)  \Leftrightarrow f(x) \in D]\strut$

が成り立つ.また, $ D\subseteq f(A)\strut$とは 限らないので,$ D$の元$ b$に対し, $ f(x)=b\strut$となる$ x\in A$が存在するとは限らない. 従って, $ C\subseteq A$のとき, $ C\neq \varnothing\strut$ならば $ f(C)\neq \varnothing\strut$ であるが, $ D\subseteq B$のときは, $ D\neq \varnothing\strut$であっても $ f^{-1}(D)=\varnothing\strut$となることがある.

例題 2.12   $ f:A\longrightarrow B, D\subseteq B\strut$とする. $ f^{-1}(D)=f^{-1}(f(A)\cap D)\strut$を示せ.

$ x\in A$のとき, $ f(x)\in f(A)\strut$は常に成り立つから,

$ x \in f^{-1}(D)\strut$

$  \Leftrightarrow x \in A  \wedge f(x) \in D \strut$

$  \Leftrightarrow x \in A  \wedge f(x) \in f(A) \wedge f(x)\in D \strut$

$  \Leftrightarrow x \in A  \wedge f(x) \in f(A)\cap D \strut$

$  \Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A)\cap D)\strut$

である. $ \Box$

問題 2.13   $ f(x)=x^3-3x\strut$で定まる $ \mathbb{R}$ から $ \mathbb{R}$ への写像$ f\strut$に対し,次を確かめよ.

$ f^{-1}([-2,0))=(0,\sqrt 3)\cup [-2,-\sqrt 3 )\strut$

定理 2.14   $ f:A\longrightarrow B\strut$とする. $ E,F\subseteq B$とするとき, 次の関係が成り立つ.
  1. $ E\subseteq F  \rightarrow f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)\strut$
  2. $ f^{-1}(E\cup F)=f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)\strut$
  3. $ f^{-1}(E\cap F)=f^{-1}(E)\cap f^{-1}(F)\strut$
  4. $ f^{-1}(B-E)=A-f^{-1}(E)\strut$
  5. $ f(f^{-1}(E))=E\cap f(A)\strut$

証明1: $ E\subseteq F , x \in f^{-1}(E)\strut$とする.原像の定義より $ f(x)\in E\strut$である. このとき, $ E\subseteq F$より $ f(x)\in F\strut$となり $ x\in f^{-1}(F)\strut$を得る.

2: $ x \in f^{-1}(E\cup F)\strut$

$  \Leftrightarrow f(x) \in E\cup F\strut$

$  \Leftrightarrow f(x)\in E  \vee f(x) \in F\strut$

$  \Leftrightarrow x \in f^{-1}(E)  \vee x \in f^{-1}(F)\strut$

$  \Leftrightarrow x \in f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)\strut$

3: 演習問題

4: $ x \in f^{-1}(B-E)\strut$

$  \Leftrightarrow f(x) \in B-E\strut$

$  \Leftrightarrow f(x) \in B  \wedge f(x) \notin\strut E\strut$

$  \Leftrightarrow x \in f^{-1}(B)=A  \wedge x \notin\strut f^{-1}(E)\strut$

$  \Leftrightarrow x \in A-f^{-1}(E)\strut$

5: 演習問題 $ \Box$

問題 2.15   $ E\cap f(A)\subseteq F\cap f(A)  \Leftrightarrow f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)\strut$を示せ.

問題 2.16   定理 2.14の1の逆は一般には成り立たない.反例を考えよ.(ヒント:問 2.15

問題 2.17   定理 2.14の3と5を証明せよ.

問題 2.18   $ f:A\longrightarrow B, C\subseteq A\strut$とするとき, $ C\subseteq f^{-1}(f(C))\strut$が成り立つことを示せ. また,一般には $ C= f^{-1}(f(C))\strut$とは限らない.反例を考えよ.

$ f:A\longrightarrow B\strut$ かつ $ C\subseteq A\strut$とする.$ f\strut$$ C$の元にのみついて考えると, $ C$から$ B$への写像が得られる.この写像を$ f\strut$$ C$への制限といい, $ f\vert _C\strut$で表す. 定義より, $ dom(f\vert _C)=C, Im(f\vert _C)=f(C)\strut$である.

TAKAHASHI Makoto : http://herb.h.kobe-u.ac.jp/