1.1 集合とは

数，式，関数，ベクトルなど明確に定義された対象を， 一定の条件のもとに集めてひとまとめにしたものを集合(set)とよぶ．

例 1.1  

1. すべての自然数 $1,2,3,\cdots$の集合¹
2. 実数係数の$x$についての$n$次多項式の全体の集合
3. 実数上の$2$項たてベクトルの全体の集合
4. $n$次複素正方行列全体の集合
5. 集合それ自体も考察の対象と考えて，集合の集合を考えることもできる．

次の記号を断わりなく使用する．

$\mathbb{N}$ ：自然数全体の集合

$\mathbb{Z}$ ：整数全体の集合

$\mathbb{Q}\strut$ ：有理数全体の集合

$\mathbb{R}$：実数全体の集合

$\mathbb{C}$：複素数全体の集合

集合を構成している個々の対象をその集合の元，要素(element)とよぶ． $x$が集合$A$の元であることを$x\in A$（あるいは$A \ni x$）で表し， $x$が集合$A$の元でないことを $x\notin\strut A$（あるいは $A \parbox{14pt}{$\;\ni\!\!\!\!\!/\;\strut$}x$）で表す． 複数の元 $a_1,\cdots ,a_n$が集合$A$の元であることを $a_1,\cdots ,a_n\in A$で表す．

記号$\in$は，英語の“is”に相当するギリシア語の動詞の頭文字の $\varepsilon$が変化したものである．集合の元であることを表すのに $\varepsilon$を最初に用いたのは，Giuseppe Peano (1858-1932)で，現在用いられている記号$\in$を最初に使用したのはBertrand Russell (1872-1970)である． [7]

例 1.2  

$2$は自然数であるから $2 \in \mathbb{N}\strut$である．$1/2\strut$は自然数ではないから $1/2 \notin\strut \mathbb{N}$である．$1/2\strut$は有理数であるが，$\pi$は有理数ではないので $1/2 \in \mathbb{Q}\strut , \pi \notin\strut \mathbb{Q}\strut \strut$である．また $2,1/2,\pi\strut$はすべて実数だから $2,1/2,\pi \in \mathbb{R}\strut$である．

一般に集合を考えるときには，個々の対象がその集合の元であるかどうか 明確に区別できなければならない． 例えば，“大きい実数の全体”というのは“大きい”という条件が明確ではないので，これにより集合を定めることはできない． 一方 $10^{10}\strut$より大きい実数の全体は集合である．

二つの集合$A$と$B$に対し，$A$の元と$B$の元がすべて一致するとき，すなわち$A$の元はすべて$B$の元であり $B$の元はすべて$A$の元であるとき，$A$と$B$は同じ集合（$A=B$）であると考える（外延性の公理）．