1.2 集合の表し方

1.2.1 枚挙による方法--元をすべて書き並べて{}でくくって表す方法

$n$個の対象 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$が与えられたとき，それらを元としてもつ 集合を $\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}\strut$で表す．

例 1.3  

自然数$1,2,3$を元にもつ集合は $\{1,2,3\}\strut$と表され，式 $x,x^2,x^3,x^4\strut$を元にもつ集合は $\{x,x^2,x^3,x^4\}\strut$と表される．

この方法は元の個数が少ないときに有効である．有限でも元の数が多いときや無限にたくさんの 元をもつ集合に対して

$$\{1,2,3,\cdots ,19,20\}\strut\qquad\{2,4,6,\cdots ,2n,\cdots\}\strut$$

と表すこともあるが，$\cdots$の意味が文脈からはっきりしていることが必要である． 上の例では通常前者は$1$から$20$までの自然数の集合，後者は正の偶数の集合であることが 予想される．

$x$のみを元として持つ集合 $\{x\}\strut$を$x$ のシングルトン ，単集合 (singleton)²とよぶ． $a_1,a_2,\cdots ,a_n$の中に同じ対象が複数あるとき，外延性の公理より，集合としては元の重複は考えない．例えば $\{1,1,2,2,3\}\strut$と $\{1,2,3\}\strut$は同じ集合である³．

1.2.2 条件による方法（その１）

元$x$についての条件⁴ $A(x)\strut$が与えられたとき， $A(x)\strut$をみたすもの全体からなる集合 を

$$\{x\bigm \vert A(x)\}\strut$$

で表す．

注意　ここでは条件 $A(x)\strut$に何の制限も付けていないが， 本当は $A(x)\strut$は何でもよいわけではない．詳しくは[5]などで，ラッセルのパラドックスについて調べてほしい．

例題 1.4   $\{x\bigm \vert x$は整数でかつ $(x+1)(x-3)\leqq 0\}\strut$はどのような集合か．この集合を元を並べる方法で表せ．

解： 任意の実数$x$に対し， $(x+1)(x-3)\leqq 0 \Leftrightarrow -1\leqq x \leqq 3$ であるから⁵， 条件 $(x+1)(x-3)\leqq 0$をみたす整数$x$は $-1,0,1,2,3$である． よって，この集合を元を並べる方法で表すと $\{-1,0,1,2,3\}\strut$となる． $\Box$

条件が'$x\in S$ かつ $A(x)\strut$'の形のときは， $\{x\bigm \vert x\in S$ かつ $A(x)\}\strut$を $\{x\in S\bigm \vert A(x)\}\strut$で表すことが多い． 例えば，例題1.4の集合は $\{x \in \mathbb{Z}\bigm \vert(x+1)(x-3)\leqq 0\}\strut$のように表現する．

問題 1.5   次の集合を元を並べる方法で表せ．

1. $\{n\in \mathbb{N}\bigm \vert 2^n \leqq 100\}\strut$
2. $\{x\in \mathbb{Z}\bigm \vert \vert x-1\vert \leqq 2\}\strut$
3. $\{ x \in \mathbb{R}\bigm \vert x^3-1=0 \}$
4. $\{ x \in \mathbb{C}\bigm \vert x^3-1=0 \}$

条件を表すときに，日本語の“かつ”，“または”，“ならば”，“．．．でない”を用いると表現が複雑になる場合は， 論理記号 $\wedge , \vee , \rightarrow , \neg$を用いて表現することにする．

表: 論理記号

日本語	論理記号
かつ	$\wedge$
または	$\vee$
ならば	$\rightarrow$
でない	$\neg$

例 1.6  

“$x$は$5$以下の自然数である” という条件は，“ $x\in \mathbb{N} \wedge x\leqq 5$”と表現される．

問題 1.7   次の条件を論理記号を用いて表現せよ．

1. $x=0$または$y=0$である．
2. $x < y$かつ$y < z$，ならば$y=0$である．
3. $x < y$ならば$x=0$であり，$x >y$ならば$y=0$である．
4. $x=0$かつ$y=0$となることはない．

集合を表す条件が $A(x) \wedge B(x) \wedge C(x)\strut$のように $\wedge$で続いているときは，条件を単に並べて $\{x\bigm \vert A(x),B(x),C(x)\}\strut$と表すのが普通である．また，集合 $\{x\in S\bigm \vert A(x)\}\strut$を考えるとき， 文脈から$S$の元を考えていることが明らかなときは$S$を省略して $\{x\bigm \vert A(x)\}\strut$と表すこともある ⁶ ．

集合 $\{x\in S\bigm \vert A(x)\}\strut$に$A$という名前をつけることを，

$$A:=\{x\in S\bigm \vert A(x)\}\strut$$

で表す⁷．他に $A\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x\in S\bigm \vert A(x)\}\strut$あるいは $A\stackrel{\mathrm{\triangle}}{=}\{x\in S\bigm \vert A(x)\}\strut$のように表すこともある．

次の命題は当たり前のことであるが，重要である．

命題 1.8   $\mbox{$A:=\{x\bigm \vert P (x)\}$}$とするとき， $a\in A$であるための必要十分条件は$a$が条件 $P(x)\strut$をみたすこと である．

1.2.3 条件による方法（その２）

式 $p(x)\strut$が与えられたとき，$A$の元$x$に対する $p(x)\strut$の値の全体を $\{p(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$で表す．

例 1.9  

$3$の正の倍数全体の集合は，自然数に$3$をかけてできる数の全体であるから，

$$\{3n\bigm \vert n\in \mathbb{N}\}\strut$$

のように表される．

問題 1.10   次の集合を条件による方法を用いて表せ．

1. $7$の正の倍数全体の集合
2. 正の奇数全体の集合
3. $2$項たてベクトル $\left( \!\!\begin{array}{c} 1 2 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$のスカラー倍（実数倍）全体の集合
4. 実数係数の$x$についての高々$2$次の多項式全体の集合

$B:=\{p(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$のとき，定義より

$a\in B \Leftrightarrow$ $a=p(x)\strut$ となる $x\in A$ が存在する (*)

が成り立つ．従って， 与えられた集合 $B:=\{p(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$に対し， $a\in B$を示すには， $a=p(x)\strut$となる元$x\in A$が存在することを示せば良い． また(*)の $\Leftrightarrow$の両辺を否定して書き換えると

$a \notin\strut B$	$\Leftrightarrow a=p(x) \strut$となる $x\in A$ は存在しない
	$\Leftrightarrow$ 任意の$x\in A$ に対し， $a\ne p(x)\strut$である         (**)
	$\Leftrightarrow a=p(x) \strut$をみたす任意の$x$ に対し， $x\notin\strut A$ である

となるから， 与えられた集合 $B:=\{p(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$に対し， $a \notin\strut B$を示すには，

$a=p(x)\strut$となる$x\in A$ は存在しないこと

あるいは

任意の $x\in A$ に対し $a\ne p(x)\strut$であること

あるいは

$a=p(x)\strut$をみたす任意の$x$ に対し $x\notin\strut A$ であること

を示せば良い．

例題 1.11   次が正しいかどうか調べよ．

1. $12\in \{n^2+n\bigm \vert n\in \mathbb{Z}\}\strut$
2. $11\in \{n^2+n \bigm \vert n\in \mathbb{Z}\}\strut$

解： 1: $n=3$とすると， $n^2+n=12\strut$であるから， $12\in \{n^2+n\bigm \vert n\in \mathbb{Z}\}\strut$である．
2:（その1） $n^2+n=n(n+1)\strut$で$n$または$n+1$のどちらかは偶数であるから， $n^2+n\strut$は常に偶数である．従って，任意の $n\in \mathbb{Z}\strut$ に対し， $n^2+n\ne 11\strut$である．よって， $11\notin\strut \{n^2+n \bigm \vert n\in \mathbb{Z}\}\strut$である．
（その2）２次方程式 $n^2+n-11=0\strut$を解くと， $n=\dfrac{-1\pm 3\sqrt{5}}{2}\notin\strut \mathbb{Z}\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$である． よって， $11\notin\strut \{n^2+n \bigm \vert n\in \mathbb{Z}\}\strut$である． $\Box$

問題 1.12   次が正しいかどうか調べよ．

1. $19 \in \{3n+1\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
2. $5 \in \{3n+1\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
3. $10 \in \{n^2+1\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
4. $11 \in \{n^2+1\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
5. $6 \in \{2n^2-5\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
6. $13 \in \{2n^2-5\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
7. $60 \in \{n^3-n\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$
8. $80 \in \{n^3-n\bigm \vert n \in \mathbb{N}\}\strut$

(*)の右辺の条件のように，“$\cdots$となる（をみたす）$x$が存在する”と条件が表されるとき 記号 $\exists \strut$を用いて， $\exists x [ \cdots ]\strut$のように表現する．

記号$\exists$は，Exist（存在する）の頭文字のEをさかさまに書いたものである．この記号を最初に用いたのはGiuseppe Peano (1858-1932)である． [7]

(*)の右辺の条件をこの記号を用いて表現すると

$$\exists x[ x \in A \wedge a=p(x)]\strut$$

となる．存在記号を用いて条件を表すときは $\exists x [ x \in A \wedge P(x) ]\strut$のように， 存在している対象$x$の属する集合が明示される場合が ほとんどである．この場合，板書などでは人により書き方は異なるが

$\exists x \in A [P(x)]\strut$		$\exists x \in A ;P(x)\strut$
$\exists x \in A :P(x)\strut$		$P(x) (\exists x \in A)\strut$
$P(x) \textrm{ for some } x \in A\strut$		$\exists x \in A \textrm{ such that } P(x)\strut$
$\exists x \in A \textrm{ s.t. } P(x)\strut$

のような表現が使われる． $\exists x \in A \exists y \in A[P(x,y)]\strut$のように $\exists \strut$が続くときは $\exists x, y\in A [P(x)]\strut$と省略する．

また(**)の右辺のように， 条件が“すべての$x$に対して，$\cdots$”の形のときは，記号 $\forall \strut$ を用いて， $\forall x [\cdots ]\strut$のように表す．

記号$\forall$はAll（すべて）の頭文字のAをさかさまにしたものである．この記号を最初に用いたのはGerhard Gentzen (1909-1945)である． [7]

また， $\forall x [ x \in A \rightarrow P(x) ]\strut$の形の条件は，

$\forall x \in A [P(x)]\strut$		$\forall x \in A ;P(x)\strut$
$\forall x \in A :P(x)\strut$		$P(x) (\forall x \in A)\strut$
$P(x) \textrm{ for all } x \in A\strut$

のような表現が使われる．$\exists$の場合と異なり， $\forall x \in A \textrm{ s.t. } P(x)\strut$という使い方はしない． $\forall x \in A \forall y \in A[P(x,y)]\strut$のように$\forall$が続くときは $\forall x, y\in A [P(x)]\strut$と省略する．このような表現法をもとにして，

$m \in \{3n\bigm \vert n\in \mathbb{N}\}\strut$であるための必要十分条件は $\exists n\in \mathbb{N}[ m=3n]\strut$である．

とか

$a,b,c\in \mathbb{R}\strut$ で$a > 0$とするとき， $\forall x \in \mathbb{R}[ax^2+bx+c > 0]\strut$であるための必要十分条件は $b^2-4ac < 0\strut$である．

のような使い方をする． $\exists$と$\forall$を量化記号(quantifier)⁸とよぶ．

表: 量化記号

日本語	論理記号
すべての，任意の	$\forall$
存在する	$\exists$

条件による集合の表現方法は変数が増えても同様である． 例えば，集合$A$の元$x$と集合$B$の元$y$についての式 $p(x,y)\strut$が与えられたとき， $A$の元$x$と$B$の元$y$によって $p(x,y)\strut$と表されるものの全体を $\{p(x,y)\bigm \vert x\in A, y\in B\}\strut$で表す． $\{p(x,y)\bigm \vert x\in A, y\in A\}\strut$は $\{p(x,y)\bigm \vert x,y\in A\}\strut$と書くことにする．

例 1.13  

実数上の$2$項たてベクトル全体の集合 $\mathbb{R}^2\strut$は

$$\left\{ \left( \!\!\begin{array}{c} a b \end{array} \!\!\right... ...[-20pt]{0pt}{8pt} \rule[-16pt]{0.5pt}{39pt} a,b \in \mathbb{R} \right\}\strut$$

で表される．また，実数上の$2$次行列全体の集合 $M_2(\mathbb{R})\strut$は

$$\left\{ \left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)\... ...le[-20pt]{0pt}{8pt} \rule[-16pt]{0.5pt}{39pt} a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\}$$

で表される．

例 1.14  

ベクトル $\left( \!\!\begin{array}{c} 1 2 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$と $\left( \!\!\begin{array}{c} 2 1 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8pt}$の一次結合全体の集合は

$$\left\{ x\left( \!\!\begin{array}{c} 1 2 \end{array} \!\!\righ... ...)\rule[-20pt]{0pt}{8pt} \rule[-16pt]{0.5pt}{39pt} x,y \in \mathbb{R} \right\}$$

のように表される．

問題 1.15   次の集合を条件による方法で表せ．

1. 実数係数の$x$についての高々$2$次の多項式全体の集合
2. 実数上の$2$次の対角行列全体の集合

$C:=\{p(x,y)\bigm \vert x\in A, y\in B\}\strut$のとき，

$$a\in C \Leftrightarrow \exists x\in A \exists y\in B[ a=p(x,y) ]\strut$$

が成り立つ．従って，

与えられた集合 $C:=\{p(x,y)\bigm \vert x\in A, y\in B\}\strut$に対し， $a\in C$を示すには， $a=p(x,y)\strut$となる元$x\in A$と$y\in B$が存在することを示せば良い．

また $\Leftrightarrow$の左右の式を否定して書き換えると

$$a \notin\strut C \Leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in B [ a \ne p(x,y)]$$

となるから， 与えられた集合 $C:=\{p(x,y)\bigm \vert x\in A, y\in B\}\strut$に対し， $a\notin\strut C$を示すには，任意の$x\in A$と$y\in B$に対し $a\ne p(x,y)\strut$であることを示せば良い．

例題 1.16   次が正しいかどうか調べよ．

1. $11\in \{2m+3n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$
2. $11\in \{2m+6n \bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$
3. $16\in \{5m+4n \bigm \vert m,n\in \mathbb{N}\}\strut$
4. $7 \in \{m^2 + n^2 \bigm \vert n,m \in \mathbb{N}\}\strut$

解： 1: $m=1,n=3$とすると，$2m+3n=11$であるから， $11\in \{2m+3n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$である．
2: $2m+6n=2(m+3n)\strut$より $2m+6n$は$2$で割り切れるが$11$は$2$では割り切れないから，任意の $m,n \in \mathbb{Z}\strut$ に対し， $2m+6n\ne 11\strut$である．従って， $11\notin\strut \{2m+6n \bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$である．
3:$5m+4n$が偶数になるのは$m$が偶数のときである．$m\geqq 4$ならば $5m+4n\geqq 20$である．$m=2$のとき，$10+4n=16$となる自然数$n$は 存在しない．従って， $16\notin\strut \{5m+4n \bigm \vert m,n\in \mathbb{N}\}\strut$である．
4: $m\geqq 3$ならば $m^2\geqq 9\strut$であるから $m^2+n^2\geqq 9 >7\strut$である．$m=2$ のときは， $4+n^2-7=n^2-3\ne 0 (\forall n \in \mathbb{N})\strut$である．$m=1$ のときも同様に， $1+n^2-7=n^2-6\ne 0 (\forall n \in \mathbb{N})\strut$である．よって， $7\ne m^2+n^2 (\forall m,n \in \mathbb{N})\strut$ であるから， $7 \notin\strut \{m^2 + n^2 \bigm \vert n,m \in \mathbb{N}\}\strut$である． $\Box$

問題 1.17   次が正しいかどうか調べよ．

1. $10 \in \{3m+4n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$
2. $12 \in \{8m+5n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$
3. $7 \in \{3m+5n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z}\}\strut$
4. $5\in \{3m+4n \bigm \vert m,n\in \mathbb{N}\}\strut$
5. $10 \in \{2m^2 + n^2 \bigm \vert m,n \in \mathbb{N}\}\strut$
6. $6 \in \{2m^2 + n^2 \bigm \vert m,n \in \mathbb{N}\}\strut$
7. $7 \in \{m^2 - n^2 \bigm \vert m,n \in \mathbb{N}\}\strut$
8. $10 \in \{m^2 - n^2 \bigm \vert m,n \in \mathbb{N}\}\strut$
9. $\left( \!\!\begin{array}{c} 1 -1 \end{array} \!\!\right)\rule[-20pt]{0pt}{8... ...)\rule[-20pt]{0pt}{8pt} \rule[-16pt]{0.5pt}{39pt} x,y \in \mathbb{R} \right\}$
10. $\left( \begin{array}{c} 1 0 0 \end{array} \right)\in \left\{ x\left( \be... ...rule[-20pt]{0pt}{8pt} \rule[-16pt]{0.5pt}{39pt} x,y,z \in \mathbb{R} \right\}$

例題 1.18   $m \in \mathbb{Z}\strut$とする． $6m+1 \in \{ 3n+1\bigm \vert n \in \mathbb{Z} \}$であることを示せ．

解： $6m+1=3(2m)+1\strut$であるから，$n=2m$とすると$6m+1=3n+1$が成り立つ．よって， $6m+1 \in \{ 3n+1\bigm \vert n \in \mathbb{Z} \}$である． $\Box$

問題 1.19   $9p^2+6p+2 \in \{m^2+1\bigm \vert m \in \mathbb{Z}\}\strut (\forall p \in \mathbb{Z})$を示せ．

問題 1.20   $m^2+1 \in \{4p^2+4p+2\bigm \vert p \in \mathbb{Z}\}\strut$はどのような $m \in \mathbb{N}\strut$に対して成り立つか調べよ．

1.2.4 条件による方法（その３）

その１とその２の方法を組み合わせて集合を表現することもある． 例えば，集合$A$が条件 $A(x)\strut$により １の方法を用いて $A:=\{x\bigm \vert A(x)\}\strut$と表され，さらに集合$B$がその$A$と式 $p(x)\strut$を用いて２の 方法で $B:=\{p(x)\bigm \vert x\in A\}\strut$と表されている場合，$B$を条件 $A(x)\strut$と式 $p(x)\strut$を用いて直接

$$B:=\{p(x)\bigm \vert A(x)\}\strut$$

と表すのである．条件による方法（その１）は式 $p(x)\strut$が特に“$x$”の形の条件の場合であり， 条件による方法（その２）は条件 $A(x)\strut$が特に“$x\in A$”の形の条件の場合である． $\{p(x,y)\bigm \vert A(x,y)\}\strut$のように変数が増えても同様に考える．

例題 1.21   次の集合を元を並べる方法で表せ．

1. $\{3n\bigm \vert n\in \mathbb{N}, n\leqq 5\}\strut$
2. $\{mn \bigm \vert m,n \in \mathbb{Z}, \vert m\vert + \vert n\vert\leqq 1\}\strut$

解： 1: 条件 $n\in \mathbb{N}, n\leqq 5$をみたす$n$は $n=1,2,3,4,5$ であるから，元をすべて並べてこの集合を表すと， $\{3,6,9,12,15\}\strut$になる．
2: $\vert n\vert + \vert m\vert\leqq 1$をみたす整数$m,n$の組は， $(m,n)=(\pm 1, 0), (0, \pm 1) , (0,0)\strut$であるから，いずれの場合も$mn=0$である．よって， $\{mn \bigm \vert m,n \in \mathbb{Z}, \vert m\vert + \vert n\vert\leqq 1\}\strut=\{0\}\strut$である． $\Box$

問題 1.22   次の集合を元を並べる方法で表せ．

1. $\left\{\dfrac{1}{n} \bigm \vert n\in \mathbb{Z}, 0 < n^2\leqq 4\right\}\strut$
2. $\{n^2 + m^2 \bigm \vert n,m \in \mathbb{Z}, \vert n\vert\leqq 2 , \vert m\vert\leqq 2 , \vert n + m\vert\leqq 1\}\strut$

問題 1.23   次の集合を元のみたす条件による方法を用いて表せ．（表し方は一通りではない．複数考えてみよう．）

1. $\{1,4,9,16,25\}\strut$
2. $\{1,4,7,10,13\}\strut$

$B:=\{p(x)\bigm \vert A(x)\}\strut$のとき，

$$a\in B \Leftrightarrow a=p(x) \wedge A(x) \textrm{ for some }x\qquad\textrm{(\dag )}\strut$$

が成り立つ．従って，

与えられた集合 $B:=\{p(x)\bigm \vert A(x)\}\strut$に対し， $a\in B$を示すには， $a=p(x)\strut$かつ $A(x)\strut$をみたす元$x$が存在することを示せば良い．

$\textrm{(\dag )}\strut$の $\Leftrightarrow$の左右の式を否定して書き換えると

$$a \notin\strut B \Leftrightarrow \forall x [a=p(x) \rightarrow \neg A(x)]\strut$$

あるいは

$$a \notin\strut B \Leftrightarrow \forall x [A(x) \rightarrow a\ne p(x)]\strut$$

となるから，

与えられた集合 $B:=\{p(x)\bigm \vert A(x)\}\strut$に対し， $a \notin\strut B$を示すには，

$a=p(x)\strut$をみたす任意の$x$に対し $A(x)\strut$がなりたたないこと，

あるいは

$A(x)\strut$をみたす任意の$x$に対し $a\ne p(x)\strut$となること

を示せば良い．

ただし， $a=p(x)\strut$をみたす$x$が少ない場合 は前者の形で示す方が容易である．

変数が増えても同様に考える． $B:=\{p(x,y)\bigm \vert A(x,y)\}\strut$のとき，

$$a\in B \Leftrightarrow \exists x \exists y s.t. a=p(x,y) \wedge A(x,y) \strut$$

であり， $\Leftrightarrow$の左右の式を否定すると，

$$a \notin\strut B \Leftrightarrow \forall x \forall y [ a=p(x,y) \rightarrow \neg A(x,y)]\strut$$

あるいは

$$a \notin\strut B \Leftrightarrow \forall x \forall y [ A(x,y) \rightarrow a\ne p(x,y) ]\strut$$

である．

例題 1.24   $10\in \{3m+4n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z},m,n$ はともに偶数$\}\strut$を示せ．

解： $m=6, n=-2$とすると，$10=3m+4n$で$m,n$はともに偶整数である から， $10\in \{3m+4n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z},m,n$はともに偶数$\}\strut$である． $\Box$

例題 1.25   $12 \notin\strut \{8m+5n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z},m,n > 0\}\strut$を示せ．

解： $m,n\in \mathbb{Z},m,n > 0\strut$とすると，$m,n\geq 1$より $8m+5n\geq 8+5=13$ であるから， $12\ne 8m+5n\strut$である． よって， $12 \notin\strut \{8m+5n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z},m,n > 0\}\strut$である． $\Box$

問題 1.26   次が正しいかどうか調べよ．

1. $9 \in \{2m+5n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z},m,n > 0\}\strut$
2. $12 \in \{7m+4n\bigm \vert m,n\in \mathbb{Z},m,n > 0\}\strut$
3. $10 \in \{n^2 + m^2 \bigm \vert n,m \in \mathbb{Z},\vert n + m\vert\leqq 2\}\strut$

1.2.5 記号の書き換え

$A:=\{x\bigm \vert A(x)\}\strut$は条件 $A(x)\strut$をみたす$x$の全体を表す集合であるから 記号$x$を別の記号$y$で置き換えて 得られる表現 $\{y\bigm \vert A(y)\}\strut$により定まる集合は$A$と同一の集合である．

例 1.27  

$\{3n\bigm \vert n\in \mathbb{N}\}\strut$と $\{3m\bigm \vert m\in \mathbb{N}\}\strut$はともに$3$の倍数の 集合を表す．

条件や集合をいくつも同時に扱うとき，条件を表す変数として同じ記号を用いると 混乱する恐れがあるときは，この記号の書き換えを行って表現を変える事が多い⁹．