1.4 空集合

与えられた集合$A$に対し，条件 $P (x)\equiv x\notin\strut \{x\}\strut$により決まる“対象の集まり” $\{x \in A \bigm \vert P(x)\}\strut$を考える．$A$に属するどの元も常に $x \in \{x\}\strut$ をみたすから， $P(x)\strut$をみたす$A$の元は存在しない．従って， $\{x \in A \bigm \vert P(x)\}\strut$ を集合として考えると，これは１つも元をもたない集合である．我々はこのように元を１つももたないようなものも 集合として扱い，空集合(empty set, null set)とよぶ．

空集合はただひとつである．空集合は通常 $\varnothing$で表される．

空集合の記号 $\varnothing$はノルウェーやデンマーク文字のひとつである．空集合を表すのに文献上 $\varnothing$を最初に使用したのは，フランスの数学者集団Bourbakiである． [7]

定義より， $\forall x [x \notin\strut \varnothing]$が常に成り立つ． 与えられた集合 $B:=\{x \in A \bigm \vert P(x)\}\strut$に対して， $B=\varnothing$ を示すには， $\forall x\in A [\neg P(x)]\strut$を示せばよい．

定理 1.51  

空集合は任意の集合の部分集合である．すなわち，任意の集合$A$に対し， $\varnothing \subseteq A$が成り立つ．

証明： 背理法で示す． $\varnothing \nsubseteq A$となる集合$A$が存在したとする． このとき， $x \in \varnothing \wedge x \notin\strut A$となる元$x$ が存在することになるが，これは空集合の定義に反する．よって，任意の集合$A$に対し， $\varnothing \subseteq A$が成り立つ． $\Box$

問題 1.52   任意の集合$A$に対し， $A\subseteq \varnothing$ならば $A=\varnothing$ であることを示せ．